বুলিয়ান উপপাদ্যের সাহায্যে যুক্তি রাশিমালার সরলীকরণ

slide-posts

বুলিয়ান উপপাদ্যের সাহায্যে যুক্তি রাশিমালার সরলীকরণ

বুলিয়ান উপপাদ্যের সাহায্যে যুক্তি রাশিমালার সরলীকরণ বা রাশিমালার গঠন পরিবর্তন সাধন করা যায়।

বুলিয়ান চলকের মান ১ অথবা ০ দিয়ে এসব উপপাদ্যগুলো সহজেই প্রমাণ করা যায়। নিচে গুরুত্বপূর্ণ  কিছু বুলিয়ান উপপাদ্য দেয়া হলো 

মৌলিক উপপাদ্য

1. i) A +1 = 1 ii) A.1= A

2. i) A+ 0 = A ii) A.0 = 0

3. i) A + A = 1 ii) A.A = 0

4. i) A + A = A ii) A.A=A

5. mnvqK Dccv`¨ (Auxiliary Theorems):

i) A + AB = A + B

ii) A + AB = A + B

iii) A + AB = A + B

iv) A + AB = A + B

6. বিনিময় উপপাদ্য (Commulative Theorems)

i) A + B=B+A ii) A.B=B.A

7. অনুষঙ্গ উপপাদ্য (Associative Theorems)

i) A+ (B + C) = (A + B) + C ii) A.(B.C) =(A.B).C

8. বিভাজন উপপাদ্য (Distributed Theorems)

i) A(B + C) = AB+ AC ii) (A + B) (A + C) = A+ BC

9. ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য (De-Morgan’s Theorems)

i) A + B=A.B ii) A.B = A + B

10. সহায়ক উপপাদ্য  (Secondary Theorems)

i) A + AB = A ii) A(A + B) = A

11. A = A

উপরিউক্ত উপপাদ্যসমূহকে চলকের মান ০ বা ১ ধরে যেকোনো উপপাদ্য প্রমাণ করা যায়। 

উদাহরণ-১: প্রমাণ কর,  A +1 = 1

প্রমাণ: hw` A = 1 হয় তবে

বামপক্ষ= A + 1

= 1+1

= 1

= ডান পক্ষ

উদাহরণ-২: প্রমাণ কর, A + A = 1

প্রমাণ: যদি A = 1 হয় তবে A = 0

বামপক্ষ = A + A

= 1 + 0

= 1

= ডানপক্ষ

যদি A = 0হয় তবে

বামপক্ষ = A + 1

= 0 +1

= 1 = ডানপক্ষ

∴ বুলিয়ান চলক A এর যেকোনো মানের জন্য A +1 = 1 (প্রমাণিত)

যদি A = 0 হয় তবে A = 1

বামপক্ষ = A + A

= 0 + 1

= 1 = ডানপক্ষ

∴ বুলিয়ান চলক A এর যেকোনো মানের জন্য A + A =1 (cÖgvwYZ)

 

উদাহরণ-৩: প্রমাণ কর, A.A = 0

প্রমাণ:যদি A = 1 হয় তবে A = 0

বামপক্স = A.A

= 1. 0

= 0

= ডানপক্ষ

∴ বুলিয়ান চলক A এর যেকোনো মানের জন্য A .A = 0 (প্রমাণিত)

উদাহরণ-৪: প্রমাণ কর, A + BC = (A + B) (A + C)

ডানপক্ষ= (A + B) (A + C)

= A.A + A.C + A.B + BC

= A + AC + AB + BC

= A(1 + C) + AB + BC

= A.1 + AB + BC

= A + AB + BC

= A (1 + B) + BC

= A.1 + BC

= A + BC

=বামপক্ষ

∴ ডানপক্ষ= বামপক্ষ(প্রমাণিত)